I. Physik, Mathematik und Finanzen: Bachelier und die Brown-Bewegung » Weiter!
II. Spiel: Wie viel wert ist das Spielgeld „MEIN NAME IST HASE“? » Weiter!
III. Optionen » Weiter!
IV. Options-Positionen » Weiter!
V. Preisschwankungen auf dem Kapitalmarkt » Weiter!
VI. Volatilität kaufen, Volatilität verkaufen » Weiter!
VII. Die Deckung der Optionsverpflichtung » Weiter!
VIII. Die Preise der Optionen » Weiter!
IX. Die Lehre » Weiter!
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VIII. Die Preise der Optionen
Begeben wir uns zurück zum Spiel, das am Anfang des Vortages erwähnt wurde. Wenn wir neben einen grünen Jeton zwei rosafarbene verschaffen, dann sind wir genau in der Situation als wenn wir zwei Gelbe hätten.
17. Diagramm
Der Wert des gelben Jetons ist 1 (weil es sicher ist, dass wir in paar Augenblicken 1 Einheit Geld bekommen). Der Preis des gelben und grünen Jetons ist in unserem Fall bestimmend für den Wert des dritten Jetons. Unabhängig von unserem Spiel kann man zahlreiche Beispiele dafür finden, dass zwei Kurse einen dritten eindeutlich bestimmen (17. Diagramm)
Wenn der Wert des grünen Jetons ebenfalls 1 ist (das heißt das Risiko-Premium Null ist), dann ist dem obigen Zusammenhang gemäß die exportierte Option 0,5.
18. Diagramm
Wenn die Organisatoren des Spieles mit der Teilnahme von 400 Leuten rechnend 200 gelbe, 100 grüne und 100 blaue Jetons herstellen, dann müssen sie mit 700 oder 100 Einheitsgewinnen rechnen. Sie können diese Ungewissheit auch loswerden, indem sie 100 gelbe Jetons weniger und 100 grüne Jetons mehr herstellen, weiterhin muss man die Auszahlung des blauen Jetons ändern: nicht Kopf, sondern Zahl gewinnt. In diesem Fall können die Organisatoren unabhängig von dem geworfenen Resultat, mit einem Einheitsgewinn von 400 rechnen (18. Diagramm)
19. Diagramm
Der Tagesertrag des BUX erinnert stark an das Kopf oder Zahl Spiel (19. Diagramm)
Zum Zweck der Illustration stellen wir uns den nächsten Schritt des Optionspreises vor, dass alle Kurse der Aktie auf 100 stehen und nach jedem Schritt steigt der Wert entweder 10 Dollar an oder sinkt er mit 10 Dollar. Wie viel ist uns nun das Recht wert, dass wir in zwei Schritten den Kurs für K = 100 kaufen können? Die Antwort lautet 5 Dollar. Wieso?
Wenn wir der unteren Strategie folgen, dann werden wir beim Ablauf der Option soviel Geld haben wie viel Wert die Option hat.
Am Anfang steht der Kurs auf 100 und wir sind im Besitz von 0,5 Stück Aktie.
Wenn der Kurs von 100 auf 110 steigt, dann kaufen wir noch eine Hälfte (-55).
Wenn der Kurs von 100 auf 90 sinkt, verkaufen wir die bestehende Hälfte (+45).
Am Start kaufen wir aus den 45 Dollar Kredit 0,5 Stück Optionen.
Dazu benötigen wir: 0,5 x 100 – 45 = 50 – 45 = 5 Dollar, dies ist der Startwert des calls.
Wir verfolgen die Delta-Strategie: wir bekommen die möglichen Endergebnisse des calls.
20. Diagramm
21. Diagramm
Eine Grätschenposition, die nach vier Schritten Kaufs- und Verkaufsrechte versichert auf dem K = 100 Kurs können wir mit der nächsten Strategie produzieren
Am Start haben wir 0 Stück Aktien und 15 Dollar Einsatz.
Dazu benötigen wir: 15 Dollar, dies ist der Startwert des calls.
Wir verfolgen die Delta-Strategie: wir bekommen die möglichen Endergebnisse des calls.
Wenn wir uns die Kursenderungen nicht als diskrete Sprünge vorstellen, sondern als eine stetige Funktion, dann ist uns die Brown-Bewegung und dessen mathematischer Apparat zu Hilfe. Dies war der unverstandene Gedanke von Bachelier aus 1990. Den zeitlichen Prozess der mit der Brown-Bewegung beschrieben werden kann, kann man sich am besten so vorstellen, dessen jeder einzeln Punkt eine Überraschung birgt. Dies ist eine unendlich gezackte Formation, dessen jeder Punkt ein Haltepunkt ist. Als ob vor einem dribbelnden Stürmer immer mehr Abwehrspieler auftauchen würden.
Solch ein Prozess kann man sich nur schwer vorstellen und man würde kaum glauben, dass man dessen Transformationen aus einer geschlossenen Formel, aus der so genannten Ito-Formel definiert werden kann (demzufolge, wie sich der zufällige Prozess entwickelt, was des Quadrat Logarithmen, Grundprozesses usw. ist). Die Formel selbst ist seit 1951 bekannt, im Finanzwesen war es Merton der es als erster in den '70-er Jahren anwendete nach dem Abschluss der Optionen.
Auf dem 21. Diagramm können wir die Entwicklung einer 1995-er Aktie sehen, beziehungsweise den für diese Aktie geltenden, Verlauf der Kaufsrechte im September. Der Kurs dieser Aktie ist eine Braun-Bewegung, die Änderung des Optionswertes ist dessen Transformierung.
Nach der Ito-Formel wissen wir, welches der Koeffizient des riskanteren Gliedes (dw) in den zweier Brown-Bewegungen ist. Nach dem kann man feststellen, mit wie vielen Grundprodukten man in den vereinzelten Momenten man die Verkaufsverpflichtung ausgleichen kann. Der Deltawert ändert sich von Moment zu Moment, aber mit dem ständigen Kauf und Verkauf können wir eine risikofreie Position aufbehalten (21. Diagramm).
Black und Scholes entwickelten die Funktionsgleichung, dessen Ergebnis eine c(S,t) Funktion ist die den Wert der Option für alle Kurse und alle Zeitpunkte bezeichnet. Die ist eine zweitrangige partielle Differenzialgleichung. Die Abschüssigkeit und Krümme der Funktion verliehen durch den zeitlichen Kurs, beschreibt die nötige Beziehung zwischen der zeitigen Abschüssigkeit und der Höhe der Funktion.
Der Inhalt der Gleichung: das Risiko der einen verkauften Option kann fortwährend ausgeglichen werden mit der Änderung der Aktiennummer. Der Ertrag eines risikofreien Portfolios ist der Zinssatz. Auf dem 22. Diagramm zeigt die linke Abbildung die c(S,t) Oberfläche. Die Kursänderung des Grundproduktes zeigt die untere Abbildung (dies ist der an der Oberfläche ablaufende Marktsprozess von oben betrachtet), die Rechte Abbildung zeigt die Änderung Optionswertes (dies ist der an der Oberfläche ablaufende Marktsprozess von der Seite betrachtet).
Die Ansichtsweise und der mathematischer Apparat der Optionspreisung kann angewendet werden um die zukünftige Veränderung der Zinssätze zu kalkulieren und um die Beziehung zwischen dem Zinssatzwerten mit verschiedenen Laufzeiten zu untersuchen und dies ist wahrhaftig eine viel wichtigere Anwendung, wie die Optionspreisungen bezüglich der Aktien und Devisen.
22. Diagramm
23. Diagramm
Die Aufschiebbarkeit des Starts einer Investition die z.B. vom Preis des Öls abhängt steigert den Wert des Projektes im Großen. Auf der vertikalen Achse des 24. Diagramms zeigt die linke Hälfte, wenn wir mit der Bergarbeit jetzt anfangen würden, würde dieses Projekt nach den jetzigen Preisen des Öls verlustbringend sein. Wenn der Start der Investition verzögert werden kann, dann wird uns der Preisstieg des Öls aus den vergangenen Preisschwankungen betreffen, weil wir dann unsere Erwirtschaftung mit einem Gewinn beginnen können, aber das Maß der Verringerung trifft uns nicht: wir sollten die Erwirtschaftung nicht einmal beginnen wenn es für uns ein bisschen und nach dann nicht, wenn es sehr verlustbringend wäre.
24. Diagramm
25. Diagram
Das Volumen der Optionshandel ist sprunghaft gestiegen nach der Optionspreisung. In Ungarn hätten sie dies schon viel früher beginnen können.
